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2 基于二阶锥松弛及拉格朗日对偶的模型转化
上节所述问题已是一个复杂的混合整数非凸非线性规划问题,若在其基础上进一步考虑不确定参数并进行鲁棒优化会使模型求解更为困难。因此本文先采用二阶锥松弛技术将原模型凸化,然后利用鲁棒对偶转化方法将原双层凸规划问题转化为易于求解的单层凸规划问题。具体转化方法如下。
2.1 基于二阶锥松弛的模型凸化
2.1.1 目标函数及网络约束转化
采用文献[22]的方法,通过如下变量替代和松弛,使原规划问题转变为二阶锥规划问题。替换变量如下所示:
将上述替换变量代入后,原数学模型的目标函数(6)中的网损成本以及网络约束条件(8)—(11)可作如下转变:
此外,替换变量Xi,t、Yij,t、Zij,t还需满足自身约束式(24)。至此原模型已经转变为线性方程式和二次等式的结合。为满足凸规划要求,将二次等式(24)进一步松弛并转化为标准二阶锥形式,如式(25)所示。文献[23]指出模型中的松弛是严格的,且根据文献[24-26]所述要求,本文含网损成本的模型严格符合转化条件。
2.1.2 储能约束转化
储能约束中式(14)—(17)为线性约束,符合二阶锥规划要求。非线性约束式(12)(13)可经如下转化变为锥约束及线性约束的结合,其中含0-1变量的非线性表达式可用Big-M法进行处理。
式中:M1、M2、M3为较大的常数;H1、H2、H3为新增辅助变量。
当εi=1时,模型中换流器额定容量、储能充放电功率上限值分别取到Srate ess,i、Pmax,ge ess,i和Pmax,disge ess,i,由于M为较大常数,约束(26)(27)将不会影响H的取值。当εi=0时,约束(26)(27)分别将换流器额定容量、储能充放电功率上限值约束至0。
经过上述处理,原混合整数非凸非线性规划问题转化为混合整数二阶锥规划问题。简化表达如下:
2.2 基于拉格朗日对偶的单层模型转化
2.2.1 鲁棒模型对偶转化
根据文献[27],二阶锥模型(28)中的目标函数等价于下式:
maxuminxcTxmaxuminxcTx (30)
再根据锥优化的强对偶理论[28],原二阶锥模型可转化为
式中:M是一个较大的常数;α˜α~为辅助变量;μ为0-1变量。
由上式可见:当μi=1时,α˜iα~i=αi,此时风电出力取到最大值,其对应的αi为正;当μi=0时,α˜iα~i=0,此时风电出力取到最小值,其对应的αi为负。
2.2.2 可调参数的代入
为防止结果过于保守,根据式(5)代入可调鲁棒参数Γ,改变不确定参数取值如下:
通过上述二阶锥转化及鲁棒对偶转化,原问题已成为一个易求解的单层混合整数凸规划问题,可利用成熟的商业软件包进行计算。
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